Пусть $Y$ и $Z$ являются подпространствами конечномерных векторных пространств $V$ и $W$ соответственно. Рассмотрим множество $R = {\alpha \in L(V,W) \mid \alpha(Y) \subseteq Z}$, где $L(V,W)$ обозначает множество линейных отображений из $V$ в $W$.
Вопрос: Какова размерность $R$?
Решение:
Пусть $\dim V = n$ и $\dim W = m$. Рассмотрим произвольное линейное отображение $\alpha \in L(V,W)$. Так как $\alpha(Y) \subseteq Z$, тогда образ любого вектора $y \in Y$ при отображении $\alpha$ лежит в $Z$. Это означает, что ограничение линейного отображения $\alpha$ на подпространство $Y$ является линейным отображением из $Y$ в $Z$.
Таким образом, мы можем рассмотреть отображение $L(Y,Z)$ всех линейных отображений из $Y$ в $Z$. Так как размерности $Y$ и $Z$ конечны, то $\dim L(Y,Z) = \dim Y \cdot \dim Z$.
Следовательно, размерность множества $R$ равна $\dim R = \dim L(V,W) = \dim Y \cdot \dim Z = n \cdot \dim Z$.
Таким образом, размерность множества $R$ равна произведению размерности подпространства $Y$ на размерность подпространства $Z$, то есть $n \cdot \dim Z$.